Question

20．設f（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+a，x∈R，a為常數(shù)．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用單調性的定義予以證明．
（3）在（1）的條件下，不等式f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0對x≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函數(shù)的定義取值計算，取f（0）=0；
（2）利用函數(shù)單調性的定義直接證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性與單調性直接得到不等式x²-3x≥-x+m-1對x≥0恒成立．

解答 解：（1）法一：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，得f（0）=0即a+1=0，所以a=-1．
法二：因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0．
∴f（-x）+f（x）=$（a+\frac{2}{{2}^{-x}+1}）$+$（a+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=2a+$（\frac{2}{\frac{1}{{2}^{x}}+1}+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=$a+（\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=2a+2
=0
所以a=-1．
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂．
則有f（x₁）-f（x₂）=$（a+\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}）$-$（a+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2×（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
∴${2^{x_2}}+1＞0$，
∴${2^{x_1}}+1＞0$，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，對任意的實數(shù)a，函數(shù)f（x）在f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0上是減函數(shù)．
（3）由（1）得，f（x）為奇函數(shù)，則有不等式f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0對x≥0恒成立等價于不等式f（x²-3x）≤f（-x+m-1）對x≥0恒成立，
又由（2）知，對任意的實數(shù)a，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
則?式等價于不等式x²-3x≥-x+m-1對x≥0恒成立，
即不等式m≤x²-2x+1對x≥0恒成立，
令g（x）=x²-2x+1，則g（x）=（x-1）²，易知∴g（x）_min=g（1）=0
∴m≤0．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性定義證明、以及函數(shù)性質的綜合應用，屬中等題．