Question

14．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心、橢圓的短半徑為半徑的圓與直線l：x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)PB交橢圓C于另一點，設(shè)直線PB的方程y=k（x-4），B（x₁，y₁），A（x₁，-y₁），求直線AE與x軸的交點坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過聯(lián)立e²=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$、b=$\frac{|0-0+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}$，計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過將y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達定理可知x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$、x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，通過設(shè)直線AE的方程為y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•（x-x₂），利用y=0并代入x₁+x₂、x₁x₂的值化簡即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴a²=$\frac{4}{3}$b²，
∵以原點為圓心、橢圓的短半徑為半徑的圓與直線l：x-y+$\sqrt{6}$=0相切，
∴b=$\frac{|0-0+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴b²=3，a²=4，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）依題意，將y=k（x-4）代入橢圓方程，
得：（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
設(shè)E（x₂，y₂），則直線AE的方程為：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•（x-x₂），
令y=0，則x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2{x}_{2}{x}_{1}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
代入x₁+x₂、x₁x₂的值并化簡，得x=1，
∴直線AE與x軸的交點坐標為（1，0）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．