Question

19．函數(shù)f（x）是（0，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)n∈N^*時，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，則f（3ⁿ）的值等于2•3ⁿ．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）是（0，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)n∈N^*時，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，可得f（1）=2，f（3）=6，f（9）=18，f（27）=54，歸納可得答案．

解答 解：∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，f[f（n）]=3n 
∴f（f（1））=3，且f（1）≠1 （若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與f（1）=1矛盾）
∵f（x）∈N^*
∴f（1）≥2
∴f（2）≤f（f（1）），∵f（f（1））=3，∴f（2）≤3，
故f（1）=2，f（2）=3，
∴f（3）=f（f（2））=6，
∴f（6）=f（f（3））=9，
∴f（9）=f（f（6））=18，
∴f（18）=f（f（9））=27，
∴f（27）=f（f（18））=54，
…
歸納可得：f（3ⁿ）=2•3ⁿ，
故答案為：2•3ⁿ

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．