Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2^a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由題意推導(dǎo)出bn=22n+1+1，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0．
∵S₃=a₄+6，
∴3a₁+

3×2d

2

=a₁+3d+6．①
∵a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴a1(a1+12d)=(a1+3d)2．②…（2分）
由①，②可得：a₁=3，d=2．…（4分）
∴a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由題意bn=22n+1+1，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，Cn=22n+1，

cn+1

cn

=

22(n+1)+1

22n+1

=4，（n∈N^*），
∴數(shù)列{C_n}為以8為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列…（9分）
∴Tn=

8(1-4n)

1-4

+n=

2•4n+1-8

3

+n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分組求和法的合理運(yùn)用．