Question

已知直線l：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，拋物線：x²=4

2

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=3上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

．證明：λ₁+λ₂的值定值；
（Ⅲ）連接AE、BD，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1，b=

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意知l與y軸交于M(0，-

1

m

)，設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線代入橢圓方程，得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理能推導(dǎo)出當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值是定值-3．
（Ⅲ）先探索，當(dāng)m=0時(shí)，AE與BD相交FK的中點(diǎn)NN（2，0），再猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于點(diǎn)N（2，0），然后進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，
拋物線x2=4

2

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，

2

)…（1分）
∴b=

2

∴b2=2，
∴a²=b²+c²=3，
∴橢圓C的方程

x2

3

+

y2

2

=1．…（3分）
（Ⅱ）由題意知m≠0，且l與y軸交于M(0，-

1

m

)，
設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

⇒(2m2+3)y2+4my-4=0
∴y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1•y2=

-4

2m2+3

…（5分）
又由

MA

=λ1

AF

∴(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)，
∴λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)…（7分）
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-4m

2m2+3

•(

2m2+3

-4

)=m…（8分）
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•m=-3
所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值是定值，定值為-3．…（9分）
（Ⅲ）先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，
由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N，且N（2，0），
猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于點(diǎn)N（2，0）．
證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（3，y₁），E（3，y₂），
當(dāng)m變化時(shí)，首先證明直線AE過定點(diǎn)N（2，0），
∵l_AE：y-y₂=

y2-y1

3-x1

（x-3），
當(dāng)x=2時(shí)，
y=y₂+

y2-y1

3-x1

•（-1）=

my1y2-(y1+y2 )

my1-2

=

-4m+4m

(my1-2)(2m2-3)

=0，
∴點(diǎn)N（2，0）在直線l_AE上，
同理可證，點(diǎn)N（2，0）也在直線l_BD上，
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于點(diǎn)N（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和這定值的證明．考查兩直線交于定點(diǎn)的探索與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．