Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓C，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
     ①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
     ②求實(shí)數(shù)m取何值時(shí)△AOB的面積最大，△AOB面積的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，且a=2，c=

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）①把直線l的方程y=x+m代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，由已和條件利用根的判別式能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出|AB|=

2(x1-x2)2

，原點(diǎn)到直線AB的距離為

|m|

2

，由此能求出當(dāng)m=±

10

2

時(shí)，△AOB面積最大值等于1．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），
∴a=2，c=

3

，
∴a²-b²=3，∴b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）①把直線l的方程y=x+m代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，
整理，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
依題意，由△＞0，得（8m）²-4×5×4（m²-1）＞0，
∴16（5-m²）＞0，∴-

5

＜m＜

5

，
又∵m≠0，∴-

5

＜m＜0或0＜m＜

5

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-

5

＜m＜0或0＜m＜

5

}．
②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由①得：
x1+x2=-

8m

5

，x₁•x₂=

4(m2-1)

5

，
又∵|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

2(x1-x2)2

，
原點(diǎn)到直線AB的距離為

|m|

2

，
∴S_△AOB=

1

2

•|AB|•

|m|

2

=

1

2

×

4

5

×

5-m2

•|m|
=

2

5

m2•(5-m2)

≤

2

5

•

m2+(5-m2)

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=5-m²，即m=±

10

2

∈（-

5

，0）∪（0，

5

）時(shí)等號(hào)成立．
∴當(dāng)m=±

10

2

時(shí)，△AOB面積最大值等于1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．