Question

20．已知tan（α+β）=0，求證：sin（α+2β）+sinα=0．

Answer 1

分析 由條件可得α+β=kπ，k∈Z，若α+β=2nπ，n∈Z，則sinα=-sinβ，化簡(jiǎn) sin（α+2β）為 sinβ+sinα=0．若α+β=（2n-1）π，n∈Z，則sinα=sinβ，化簡(jiǎn) sin（α+2β）為-sinβ+sinα=0，從而證得結(jié)論．

解答 證明：∵tan（α+β）=0，∴sin（α+β）=0，cos（α+β）=±1，α+β=kπ，k∈Z，
若α+β=2nπ，n∈Z，則sin（α+β）=0，cos（α+β）=1，sinα=sin（2nπ-β）=-sinβ，
∴sin（α+2β）+sinα=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ+sinα=sinβ+sinα=0．
若α+β=（2n-1）π，n∈Z 可得α=（2n-1）π-β，∴sinα=sin（2nπ-π-β）=sinβ，
 sin（α+2β）+sinα=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ+sinα=-sinβ+sinα=0，
綜上可得，sin（α+2β）+sinα=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角的基本關(guān)系，屬于中檔題．