Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），b_n=a_n+1²-a_n²，則{b_n}的通項公式b_n=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），化為：3${a}_{n+1}^{2}$-2${a}_{n}^{2}$=1，變形為：${a}_{n+1}^{2}$-1=$\frac{2}{3}$$（{a}_{n}^{2}-1）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），
化為：3${a}_{n+1}^{2}$-2${a}_{n}^{2}$=1，
變形為：${a}_{n+1}^{2}$-1=$\frac{2}{3}$$（{a}_{n}^{2}-1）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}-1\}$是等比數(shù)列，首項為-$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{2}{3}$．
∴${a}_{n}^{2}$-1=$-\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴b_n=a_n+1²-a_n²=$-\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{n}$+$\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
則{b_n}的通項公式b_n=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．