Question

15．設(shè)x、y∈（0，+∞），求證：$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

Answer 1

分析 對(duì)不等式的左邊和右邊分解因式，運(yùn)用基本不等式和配方法，結(jié)合不等式的可乘性，即可得證．

解答 證明：由于（x+y）²+$\frac{1}{2}$（x+y）-2（x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$）
=（x+y）（x+y+$\frac{1}{2}$）-2$\sqrt{xy}$（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$），
又x+y≥2$\sqrt{xy}$（x，y＞0），①
x+y+$\frac{1}{2}$-$\sqrt{x}$$-\sqrt{y}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²+（$\sqrt{y}$-$\frac{1}{2}$）²≥0，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{4}$取得等號(hào)），
即有x+y+$\frac{1}{2}$≥$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$，②
將①②相乘可得，（x+y）（x+y+$\frac{1}{2}$）≥2$\sqrt{xy}$（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$），
即有（x+y）²+$\frac{1}{2}$（x+y）-2（x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$）≥0，
則有$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，主要考查基本不等式的運(yùn)用和配方法，同時(shí)考查不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題．