Question

10．如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2．將△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如圖（2）．
（Ⅰ）求證：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求證：A′C⊥BE；
（Ⅲ）線段A′D上是否存在點F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用D，E分別為AC，AB上的點，且DE∥BC，結(jié)合線面平行的判定證明DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）證明A'C⊥平面BCDE，再證明：A′C⊥BE；
（Ⅲ）線段A'D上存在點F，DF=1，使平面CFE⊥平面A′DE．

解答 （I）證明：因為D，E分別為AC，AB上的點，且DE∥BC，
又因為DE?平面A′BC，
所以DE∥平面A′BC…（3分）
（II）證明：因為∠C=90°，DE∥BC，
所以DE⊥CD，DE⊥AD，
由題意可知，DE⊥A′D，…（4分）
又A′D∩CD=D，
所以DE⊥平面A′CD，…（5分）
所以BC⊥平面A′CD，…（6分）
所以BC⊥A′C，…（7分）
又A′C⊥CD，且CD∩BC=C，
所以A′C⊥平面BCDE，…（8分）
又BE?平面BCDE，
所以A′C⊥BE…（9分）
（III）解：線段A′D上存在點F，使平面CFE⊥平面A′DE．
理由如下：
因為A′C⊥CD，
所以，在Rt△A′CD中，過點C作CF⊥A′D于F，
由（II）可知，DE⊥平面A′CD，又CF?平面A′CD
所以DE⊥CF，
又A′D∩DE=D，
所以CF⊥平面A′DE，…（12分）
因為CF?平面CEF，
所以平面CFE⊥平面A′DE，
故線段A′D上存在點F，使平面CFE⊥平面A′DE…（13分）
如圖（1），因為DE∥BC，
所以，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{3}=\frac{AD}{6}$，
所以，AD=4，CD=2．
所以，如圖（2），在Rt△A′CD中，A′D=4，CD=2
所以，∠A′DC=60°，
在Rt△CFD中，DF=1…（14分）

點評 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查探索性問題，有難度．