Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$ （n∈N^*），證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關系，結合等比數(shù)列的定義進行證明即可．

解答 證明：由a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$得a_n+1+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+6n+6}{n}$=3（n+1）•$\frac{{a}_{n}+2}{n}$，
即$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=3•$\frac{{a}_{n}+2}{n}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+$\frac{2}{n+1}$=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$），
故數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$}是公比為3的等比數(shù)列．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的證明，根據(jù)數(shù)列的遞推關系，將條件進行變形，結合等比數(shù)列的定義是解決本題的關鍵．