Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：x＞1時，f（x）＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，（x＞0），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)遞區(qū)間．
（2）令$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，則${g^'}（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，（x＞0）．
由f′（x）＞0得，x＞1，即f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
由f′（x）＜0得，0＜x＜1．∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．…（6分）
證明：（2）令$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，
則${g^'}（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）＞g（1），即$\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx＞\frac{1}{6}＞0$，
∴$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$．…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．