Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²（其中a是實(shí)數(shù)），且f′（1）=-3．
（1）求a的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=3，確定a的值，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得切線的方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x³-ax²，則可得f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（1）=-3，
∴3-2a=-3，
∴a=3
又當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x³-3x²，
∴f（1）=-2，
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0．
（2）由于f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），x∈[-1，3]
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即-1≤x＜0，或2＜x≤3，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜2，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（2）=-4，
∵f（-1）=-4，
∴f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查切線方程，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．