Question

△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列命題正確的是

 

（寫出正確命題的編號）．
①總存在某內(nèi)角α，使cosα≥

1

2

；
②若AsinB＞BsinA，則B＞A；
③存在某鈍角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，則△ABC的最小角小于

π

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，可先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷角α的范圍，從而確定cosα的值域；
對于②，結(jié)合式子的特點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)y=

sinx

x

，研究其單調(diào)性解決問題；
對于③，利用內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符號即可；
對于④，可以利用平面向量的運(yùn)算方法將給的條件轉(zhuǎn)化為三邊a，b，c之間的關(guān)系，然后找到最小邊，利用余弦定理求其余弦值，問題可獲解決．

解答： 解：對于①，假設(shè)三個內(nèi)角都大于60°，則三內(nèi)角和必大于180°，與內(nèi)角和定理矛盾，故必有一內(nèi)角小于或等于60°，設(shè)為α，則cosα≥cos60°=

1

2

，故①為真命題；
對于②，由題意不妨令f(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，因?yàn)?span id="tttoeuv" class="MathJye">f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，因?yàn)?span id="vyzj1pk" class="MathJye">x∈(0，

π

2

)時，tanx＞x＞0，所以

sinx

cosx

＞x，所以xcosx-sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

π

2

)上為減函數(shù)，所以題意得AsinB＞BsinA即為

sinB

B

＞

sinA

A

，則應(yīng)有B＜A，故②為假命題；
對于③，由題意不妨設(shè)C＞

π

2

，則A，B皆為銳角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③為假命題；
對于④，由2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

得2a

BC

+b

CA

+c(

AC

+

CB

)=（2a-c）

BC

+(b-c)

CA

=

0

，即(2a-c)

BC

=(c-b)

CA

，而

BC

，

CA

不共線，所以2a-c=0，b-c=0，解得c=2a，b=2a，則a是最小邊，所以A為最小角，所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4a2+4a2-a2

2•2a•2a

=

7

8

＞

3

2

，故A＜

π

6

，故④正確．
故答案為①④．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)與解三角形、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式的應(yīng)用等知識，有一定難度．