Question

（本題滿分10分）已知函數(shù),()，若同時滿足以下條件：
①在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增
② 存在區(qū)間[]D,使在[]上的值域是[]，那么稱()為閉函數(shù)。
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；
（2）判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間[]；若不是請說明理由；
（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：（1）在R上單減，所以區(qū)間[]滿足
解得
（2）易知在上單調(diào)遞增.設(shè)滿足條件B的區(qū)間為，則方程組
有解，即方程至少有兩個不同的解
也即方程有兩個都不小于的不等根.
得，即位所求.
另解：
(1)易知函數(shù)是減函數(shù),則有  ,解得,
(2)取特值說明即可，不是閉函數(shù).
(3)由函數(shù)是閉函數(shù),易知函數(shù)是增函數(shù),則在區(qū)間上函數(shù)的值域也是,說明函數(shù)圖像與直線有兩個不同交點,令,則有
 =,(令) ,如圖

則直線若有兩個交點，則有

略