Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，焦點到一個短軸頂點距離為

6

，焦距為4，若點A（3，0），問：過該點是否存在一條直線L，使得直線L與橢圓交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于橢圓的焦點到一個短軸頂點距離為

6

，焦距為4，即有a=

6

，c=2，則b=

2

，求得橢圓方程，再假設(shè)存在過A的一條直線l，使得直線l與橢圓交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．設(shè)直線l：y=k（x-3），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，再由判別式大于0，運用韋達定理和向量的垂直的條件：數(shù)量積為0，得到k的方程，解出，注意檢驗，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由于橢圓的焦點到一個短軸頂點距離為

6

，焦距為4，
則

c2+b2

=

6

，即有a=

6

，c=2，則b=

2

，
則橢圓的標準方程為：

x2

6

+

y2

2

=1．
假設(shè)存在過A的一條直線l，使得直線l與橢圓交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．
設(shè)直線l：y=k（x-3），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則判別式△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，①
x₁+x₂=

18k2

1+3k2

，x₁x₂=

27k2-6

1+3k2

，
由于y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+9k²，

OP

•

OQ

=0即有x₁x₂+y₁y₂=0，
則有（1+k²）x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+9k²=0，
則有（1+k²）•

27k2-6

1+3k2

-3k²•

18k2

1+3k2

+9k²=0，
解得，k²=

1

5

，代入①，檢驗△＞0成立．
則k=±

5

5

，
故存在過A的一條直線l：y=±

5

5

（x-1），
使得直線l與橢圓交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運算、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．