8．已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b2+c3=1，求證：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}$≥27．

分析 由正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b2+c3=1，運(yùn)用三元均值不等式，可得ab2c3≤$\frac{1}{27}$，再由均值不等式即可得證．

解答 證明：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b，c滿足a+b2+c3=1，
所以$1≥3\root{3}{{a{b^2}{c^3}}}$，即$a{b^2}{c^3}≤\frac{1}{27}$，
所以$\frac{1}{{a{b^2}{c^3}}}≥27$，
因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}≥3\root{3}{{\frac{1}{{{a^2}{b^4}{c^6}}}}}≥27$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用三元均值不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，A（0，-2），直線FA的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)E（x0，y0）是C上一點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O向圓E：（x-x0）2+（y-y0）2=3作兩條切線，這兩條切線的斜率分別是k1，k2，求證：k1•k2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow$|=1．
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，求向量$\overrightarrow$．
（2）在條件（1）下，令$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（sin2α-2cosα）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{4}$sin22α）$\overrightarrow{a}$+（cosα）$\overrightarrow$，α是銳角，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求角α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

19．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（　�。�
A．直線AA1B．直線A1B1C．直線A1D1D．直線B1C1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．今年暑假期間，雅禮中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)社區(qū)開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．部分學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于“消防安全”的調(diào)查，隨機(jī)抽取了50名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，活動(dòng)結(jié)束后，對(duì)問(wèn)卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并將其中“是否知道滅火器使用方法（知道或不知道）”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：
年齡（歲）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]
頻數(shù)mn141286
知道的人數(shù)348732
（1）求上表中的m、n的值，并補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖；
（2）在被調(diào)查的居民中，若從年齡在[10，20），[20，30）的居民中各隨機(jī)選取1人參加消防知識(shí)講座，求選中的兩人中僅有一人不知道滅火器的使用方法的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．已知實(shí)數(shù)a、b滿足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求證：|x+a|+|x-b|≥2$\sqrt{ab}$．
（2）若a+b=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{2}{ab}$≥12．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．給定圓P：x2+y2=2x及拋物線S：y2=4x，過(guò)圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次為A，B，C，D；如果線段AB，BC，CD的長(zhǎng)度按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線l的方程為$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}=0$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圓C的圓心到直線l的距離；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），求|$\frac{1}{|PA|}$-$\frac{1}{|PB|}$|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=xyz，且不等式$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$≤λ恒成立，求λ的范圍．

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