【題目】(A)設(shè)函數(shù), .
(1)證明:函數(shù)在上為增函數(shù);
(2)若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的值.
(B)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(A)(1)詳見解析; (2).(B)(1);(2).
【解析】試題分析:(A)(1)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并因式分解,證明因式分解后每個(gè)因子都是正數(shù),由此判斷原函數(shù)在上為增函數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求得函數(shù)的極大值和極小值,要使有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則需極大值等于,由此列方程可求得的值.(B)(1)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,比較兩個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值,由此判斷出是函數(shù)的最小值.(2)注意到方程的判別式大于零,有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,由(1)得,即,解得.
試題解析:
(A)證明:(1)的定義域?yàn)?/span>, ,
當(dāng)時(shí),由, ,得,所以,則有函數(shù)在上為增函數(shù).
(2)令,得或.
列表如下:
0 | |||||
正 | 0 | 負(fù) | 0 | 正 | |
增函數(shù) | 極大值 | 減函數(shù) | 極小值 | 增函數(shù) |
則當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值,
當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,
又時(shí), , 時(shí), , 時(shí), ,
因?yàn)榉匠?/span>,即有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
所以,解得(負(fù)根舍去).
(B)(1)的定義域?yàn)?/span>,
,
令,得或,
列表如下:
1 | |||||
正 | 0 | 負(fù) | 0 | 正 | |
增函數(shù) | 極大值 | 減函數(shù) | 極小值 | 增函數(shù) |
則函數(shù)在, 上為增函數(shù),在上為減函數(shù);
當(dāng)時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), ,又,
所以時(shí),函數(shù)有最小值.
(2)對(duì)于,有,則函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,由(1)得,即,解得.
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(2)設(shè)P、Q是橢圓E上兩點(diǎn),P在第一象限,Q在第二象限,且OP⊥OQ,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).
當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在定圓O,使得直線PQ都與定圓O相切?若存在,請(qǐng)求出圓O的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的直線和橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線的斜率.
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【題目】已知函數(shù).
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【題目】《中國好聲音( )》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下燦星制作強(qiáng)力打造的大型勵(lì)志專業(yè)音樂評(píng)論節(jié)目,于2012年7月13日在浙江衛(wèi)視播出.每期節(jié)目有四位導(dǎo)師參加.導(dǎo)師背對(duì)歌手,當(dāng)每位參賽選手演唱完之前有導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身,則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師的團(tuán)隊(duì)中接受指導(dǎo)訓(xùn)練.已知某期《中國好聲音》中,6位選手唱完后,四位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的情況如下表所示:
導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)(人) | 4 | 3 | 2 | 1 |
獲得相應(yīng)導(dǎo)師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)(人) | 1 | 2 | 2 | 1 |
現(xiàn)從這6位選手中隨機(jī)抽取兩人考查他們演唱完后導(dǎo)師的轉(zhuǎn)身情況.
(1)求選出的兩人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4的概率;
(2)記選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)之和為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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(Ⅱ) 估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分.
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