【題目】若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結(jié)論：

①為的重心；

②；

③當時，平面；

④當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.

其中，所有正確結(jié)論的序號是________________.

【答案】①②③

【解析】

①點在平面內(nèi)的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；

②取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；

③若設(shè)，則由可得，然后對應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；

④由于，而的面積是定值，所以當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.

因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；

由平面，可知平面平面，記，

由，可得平面平面，則，所以②正確；

若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；

當與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.

故答案為：①②③

練習冊系列答案
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【題目】下列命題：①使得成立；②，都有成立，是在區(qū)間D上單調(diào)遞增的充要條件；③只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值；④過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有2條；正確的個數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.

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（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）為直線的中點，且，求二面角的正弦值．

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【題目】漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖所示的弦圖中，由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)有五種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（ ）

A.180B.192C.420D.480

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【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由個人依次出場解密，每人限定時間是分鐘內(nèi)，否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確，則認為該團隊挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況，抽取了甲次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為，求、的值，并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立.

①求該團隊挑戰(zhàn)成功的概率；

②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）

（1）求證：平面；

（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，，分別是，的中點.

（Ⅰ）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；

（Ⅱ）設(shè)，求二面角大小的取值范圍.

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