Question

設(shè)直線nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,規(guī)律型

分析：分別求出直線nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即（

2

n

，0），（0，

2

n+1

），則S_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后分別代入1，2，…，2013，最后求和即可．

解答： 解：分別令x=0和y=0，得到直線nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
（

2

n

，0），（0，

2

n+1

），
則S_n=

1

2

•

2

n

•

2

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
然后分別代入1，2，…，2013，
則有S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案為：

2013

2014

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消法．要求會(huì)求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；熟悉三角形的面積公式；記�。�

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n為自然數(shù)）是解題的關(guān)鍵．