Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=a，E和F分別是A₁B₁和C₁D₁的中點，求：
（1）找出與AB₁異面的所有棱；
（2）AC和B₁C₁所成角的余弦值；
（3）EB和FD所成角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）結合和異面直線的定義求解．
（2）由B₁C₁∥BC，知AC和B₁C₁所成角為∠ACB，由此能求出結果．
（2）由BE∥CF，知∠DFC是EB和FD所成角或所成角的補角，由此能求出EB和FD所成角．

解答： 解：（1）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
與AB₁異面的所有棱有6條，分別為：
A₁D₁，BC，CC₁，DD₁，DC，D₁C₁．
（2）∵B₁C₁∥BC，∴AC和B₁C₁所成角為∠ACB，
∵AB=BC=2a，∠ABC=90°，
∴cos∠ACB=cos45°=

2

2

．
（2）∵E和F分別是A₁B₁和C₁D₁的中點，
連結EF，CF，則EF

∥

.

BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
∴BE∥CF，∴∠DFC是EB和FD所成角或所成角的補角．
∵AB=BC=2a，AA₁=a，
∴DF=CF=

2

a，
∴DF²+CF²=DC²，∴∠DFC=90°，
∴EB和FD所成角為90°．

點評：本題考查異面直線的求法，考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．