Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），AB邊上的中線(xiàn)CD所在的直線(xiàn)方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）若圓M經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A、B、P（m，0），且斜率為1的直線(xiàn)與圓M相切于點(diǎn)P，求圓M的方程．

Answer 1

（1）AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0，所以直線(xiàn)AC的方程為：x=0，
又直線(xiàn)CD的方程為：2x-2y-1=0，聯(lián)立得

x=0 2x-2y-1=0

解得

x=0 y=- 1 2

，所以C(0，-

1

2

)，
設(shè)B（b，0），則AB的中點(diǎn)D(

b

2

，

1

2

)，代入方程2x-2y-1=0，解得b=2，所以B（2，0）；
（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圓M的弦AB的中垂線(xiàn)方程為4x-2y-3=0，
注意到BP也是圓M的弦，所以，圓心在直線(xiàn)x=

m+2

2

上，
設(shè)圓心M坐標(biāo)為(

m+2

2

，n)，
因?yàn)閳A心M在直線(xiàn)4x-2y-3=0上，所以2m-2n+1=0①，
又因?yàn)樾甭蕿?的直線(xiàn)與圓M相切于點(diǎn)P，所以k_MP=-1，
即

n

m+2 2 -m

=-1，整理得m-2n-2=0②，
由①②解得m=-3，n=-

5

2

，
所以，圓心M(-

1

2

，-

5

2

)，半徑MA=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
則所求圓方程為(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

50

4

，化簡(jiǎn)得x²+y²+x+5y-6=0．