Question

6．在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）證明：BC⊥SC；
（3）求二面角C-SA-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）求三棱錐S-ABC的體積，由題設(shè)條件得，棱錐的高是SA，底面是直角三角形，體積易求；
（2）證明BC⊥SC，可通過證明BC⊥面ASC來(lái)證；
（3）由（1）可知∠BAC為二面角C-SA-B的平面角，利用三角函數(shù)，可求二面角C-SA-B的大�。�

解答 解：（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
∴SA⊥面BAC，即SA即是棱錐的高，
又AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$，∠ACB=90°，
∴AB=2，SA=2$\sqrt{3}$，
∴三角形BAC的面積為$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
三棱錐S-ABC的體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=1；
（2）證明：由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC，
由∠ACB=90°，可得BC⊥AC，
又SA∩AC=A，
∴BC⊥面SCA，
∴BC⊥SC；
（3）由（1）可知∠BAC為二面角C-SA-B的平面角，
∵AC=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°
∴tan∠BAC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°，
∴二面角C-SA-B的平面角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求三棱錐的體積，線面垂直的判斷與性質(zhì)，考查二面角C-SA-B的平面角，正確運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．