Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|4x-1|+|x-m|．
（1）若m=2，解不等式f（x）＞12；
（2）若f（x）+3|x-m|＞8對一切實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對x討論，當(dāng)x＞2時，當(dāng)$\frac{1}{4}$≤x≤2時，當(dāng)x＜$\frac{1}{4}$時，去掉絕對值，解不等式，再求并集，即可得到所求解集；
（2）由題意可得|4x-1|+4|x-m|＞8對一切實數(shù)x均成立，g（x）=|4x-1|+4|x-m|≥|（4x-1）-（4x-4m）|=|4m-1|，可得g（x）的最小值，解|4m-1|＞8，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＞12，即為|4x-1|+|x-2|＞12，
當(dāng)x＞2時，4x-1+x-2＞12，即x＞3，即為x＞3；
當(dāng)$\frac{1}{4}$≤x≤2時，4x-1+2-x＞12，即x＞$\frac{11}{3}$，即為x∈∅；
當(dāng)x＜$\frac{1}{4}$時，1-4x+2-x＞12，即x＜-$\frac{9}{5}$，即為x＜-$\frac{9}{5}$，
綜上可得，原不等式的解集為（-∞，-$\frac{9}{5}$）∪（3，+∞）；
（2）f（x）+3|x-m|＞8對一切實數(shù)x均成立，
即為|4x-1|+4|x-m|＞8，
由g（x）=|4x-1|+4|x-m|≥|（4x-1）-（4x-4m）|=|4m-1|，
當(dāng)且僅當(dāng)（4x-1）（4x-4m）≤0時，g（x）取得最小值|4m-1|．
可得|4m-1|＞8，
解得m＞$\frac{9}{4}$或m＜-$\frac{7}{4}$．
則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{7}{4}$）∪（$\frac{9}{4}$，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)，求得最值，考查運算能力，屬于中檔題．