Question

已知成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上x后成為等比數(shù)列{b_n}．
（1）求等比數(shù)列數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

bn

2n-3(n2+n)

}的前m項(xiàng)和為m＞0，n＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得三個(gè)數(shù)5-d，5，5+d為正數(shù)，-5＜d＜5，由題意知10²=（7-d）（18+d），由此能求出bn=b3qn-3=5•2^n-3．
（2）由題意知

bn

2n-3(n2+n)

=

5•2n-3

2n-3(n2+n)

=5（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

bn

2n-3(n2+n)

}的前m項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a-d，a，a+d，
則a-d+a+a+d=15，解得a=5，
三個(gè)數(shù)5-d，5，5+d為正數(shù)，-5＜d＜5，
由題意知b₃=7-d，b₄=10，b₅=18+d成等比數(shù)列，
∴10²=（7-d）（18+d），
解得d=2或d=-13（舍），
∴b₃=5，b₄=10，b₅=20，
∴bn=b3qn-3=5•2^n-3．
（2）由題意知

bn

2n-3(n2+n)

=

5•2n-3

2n-3(n2+n)

=5（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=5（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=5（1-

1

n+1

）
=

5n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．