Question

9．已知b、c、d∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d在（0，1）上既有極大值又有極小值，則c²+（1+b）c的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{16}$）
• B． （0，$\frac{1}{16}$]
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． [0，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的定義可得f′（x）=0，即有x²+bx+c=0，由二次方程的實根分布可得判別式大于0，且兩根介于0和1之間，可得-2＜b＜0，c＜$\frac{^{2}}{4}$，運用不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d，
f′（x）=x²+bx+c，
由極值點處導(dǎo)數(shù)值為0，即f′（x）=0，
故有x²+bx+c=0，
要使其有兩個不同的實數(shù)解，
需要△=b²-4c＞0，
可解得4c＜b²      ①
又兩個實數(shù)解分別是 
x₁=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4c}}{2}$，和x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4c}}{2}$，
都在（0，1）區(qū)間，即：
$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4c}}{2}$＞0，可推得：b＜0 且 c＞0    ②
$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4c}}{2}$＜1，可推得：b＞-2 且 c+b+1＞0  ③
由②③式可知-2＜b＜0 ④
由①可得c＜$\frac{^{2}}{4}$，
則c²+（1+b）c=c（c+1+b）＜$\frac{^{2}}{4}$（$\frac{^{2}}{4}$+1+b）
=$\frac{^{2}}{4}$•$\frac{（b+2）^{2}}{4}$=$\frac{1}{16}$（b²+2b）²=$\frac{1}{16}$[（b+1）²-1]²，
由-2＜b＜0，可知$\frac{1}{16}$[（b+1）²-1]²∈（0，$\frac{1}{16}$]．
即有0＜c²+（1+b）c＜$\frac{1}{16}$．
故選A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求極值，主要考查二次方程的實根的分布，同時考查不等式的解法，運用二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．