Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（2x+1）在區(qū)間$（{-\frac{1}{2}，0}）$上滿足f（x）＞0．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若$f（-\frac{1}{4}）=1$，畫出函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），（x＞-\frac{1}{2}）\\{2^x}，（x≤-\frac{1}{2}）\end{array}$的圖象，并解不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x的取值范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)題意求出a的值，再畫出函數(shù)g（x）的圖象，結(jié)合圖形把不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$化為對數(shù)或指數(shù)不等式，從而求出不等式的解集．

解答 解：（1）∵x∈$（{-\frac{1}{2}，0}）$，∴2x∈（-1，0），
∴2x+1∈（0，1），
又f（x）＞0，
∴實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜1； …（4分）
（2）由$f（-\frac{1}{4}）=1$，得log_a（2×（-$\frac{1}{4}$）+1）=1，
解得$a=\frac{1}{2}$，…（5分）
所以g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}（2x+1），x＞-\frac{1}{2}}\\{{2}^{x}，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，…（6分）
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：

…（9分）
當(dāng)$x＞-\frac{1}{2}$時，不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$可化為
${log_{\frac{1}{2}}}（2x+1）＜\frac{1}{2}$，即$2x+1＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$x＞\frac{{\sqrt{2}}}{4}-\frac{1}{2}$；…（10分）
當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時，不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$可化為
${2^x}＜\frac{1}{2}$，
解得 x＜-1；…（11分）
綜上，不等式的解集為$（-∞，-1）∪（\frac{{\sqrt{2}}}{4}-\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．