Question

8．設(shè)M=a+$\frac{1}{a-2}$（2＜a＜3），$N=x（4\sqrt{3}-3x）（0＜x＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，則M，N的大小關(guān)系為M＞N．

Answer 1

分析 由于M=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2（2＜a＜3）在（2，3）上單調(diào)遞減，可得M＞4，利用基本不等式可求得N的范圍，從而可比較二者的大小．

解答 解：∵M(jìn)=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2，
而0＜a-2＜1，
又∵y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴M在（2，3）上單調(diào)遞減，
∴M＞（3-2）+$\frac{1}{3-2}$+2=4；
又0＜x＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜N=x（4-3x）=$\frac{1}{3}$•3x（4-3x）≤$\frac{1}{3}$[$\frac{3x+（4-3x）}{2}$]²=$\frac{4}{3}$．
∴M＞N
故答案為：M＞N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙鉤函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式，關(guān)鍵在于合理轉(zhuǎn)化，利用基本不等式解決問題，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，屬于中檔題．