Question

已知p：（x-2）（x+m）≤0，q：x²+（1-m）x-m≤0．
（1）若m=3，命題“p且q”為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）若m=3，根據(jù)命題“p且q”為真，則p，q同時為真，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若m=3，則p：（x-2）（x+3）≤0，即-3≤x≤2，
q：x²-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，
若命題“p且q”為真，則p，q同時為真，
則

-3≤x≤2 -1≤x≤3

，解得-1≤x≤2．
 （2）∵x²+（1-m）x-m≤0，
∴（x+1）（x-m）≤0，
則不等式對應(yīng)的方程的根為x=-1，或x=m，
不等式（x-2）（x+m）≤0，對應(yīng)的方程的根為x=2，或x=-m，
若p是q的必要不充分條件，
設(shè)p對應(yīng)的集合為A，q對應(yīng)的集合是B，
則滿足B?A，
若m≥-1，則集合B=[-1，m]，此時-m≤2，即A=[-m，2]，
此時滿足

m≤2 -m≤-1

，解得1≤m≤2，
若m＜-1，則集合B=[m，-1]，此時-m＞1，
此時A∩B=∅，不滿足條件，
故實數(shù)m的取值范圍是1≤m≤2．．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合命題的應(yīng)用，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，結(jié)合一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．