【題目】已知f(x)=sinx﹣cosx,x∈[0,+∞).
(1)證明: ;
(2)證明:當(dāng)a≥1時,f(x)≤eax﹣2.

【答案】
(1)解:不等式 ,即不等式 ,

設(shè) ,則g'(x)=﹣sinx+x,x∈[0,+∞),

再次構(gòu)造函數(shù)h(x)=﹣sinx+x,則h'(x)=﹣cosx+1≥0在x∈[0,+∞)時恒成立,

所以函數(shù)h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以h(x)≥h(0)=0,

所以g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,

所以函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(x)≥g(0)=0,

所以 ,

所以 ,即 成立


(2)解:由(1)的解析可知,當(dāng)x∈[0,+∞)時,sinx≤x且 ,

所以 ,

當(dāng) 對x∈[0,+∞)恒成立時,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立,

不等式 ,即不等式 ,對x∈[0,+∞)恒成立,

構(gòu)造函數(shù) ,

則M'(x)=ex﹣x﹣1,

令m(x)=ex﹣x﹣1,

則m'(x)=ex﹣1,當(dāng)x∈[0,+∞)時,m'(x)≥0,

故m(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以m(x)≥m(0)=0,故M'(x)≥0,即M(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以M(x)≥M(0)=0,

恒成立,

故當(dāng)a≥1時, ,

即當(dāng)a≥1時,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立


【解析】(1)設(shè) ,則g'(x)=﹣sinx+x,x∈[0,+∞),再次構(gòu)造函數(shù)h(x)=﹣sinx+x,則h'(x)=﹣cosx+1≥0在x∈[0,+∞)時恒成立,可得g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,可得 ,即可得證.(2)由(1)可知,不等式 ,對x∈[0,+∞)恒成立,構(gòu)造函數(shù) ,令m(x)=ex﹣x﹣1,則m'(x)=ex﹣1,當(dāng)x∈[0,+∞)時,m'(x)≥0,可得 恒成立,從而得證,當(dāng)a≥1時,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且滿足f(x)=f(x+2),f(﹣1)=1,若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=an+1 , a1= ,則f(a5)+f(a6)=(
A.4
B.2
C.1
D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為做好2022年北京冬季奧運會的宣傳工作,組委會計劃從某大學(xué)選取若干大學(xué)生志愿者,某記者在該大學(xué)隨機調(diào)查了1000名大學(xué)生,以了解他們是否愿意做志愿者工作,得到的數(shù)據(jù)如表所示:

愿意做志愿者工作

不愿意做志愿者工作

合計

男大學(xué)生

610

女大學(xué)生

90

合計

800

(1)根據(jù)題意完成表格;

(2)是否有的把握認(rèn)為愿意做志愿者工作與性別有關(guān)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD為正三角形.

(Ⅰ)點M為棱AB上一點,若BC∥平面SDM,AM=λAB,求實數(shù)λ的值;

(Ⅱ)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】

由線面平行的性質(zhì)定理可得,據(jù)此可知四邊形BCDM為平行四邊形,據(jù)此可得.

由幾何關(guān)系,在平面內(nèi)過點直線于點以點E為坐標(biāo)原點,EA方向為X軸,EC方向為Y軸,ES方向為Z軸建立空間坐標(biāo)系,據(jù)此可得平面的一個法向量,平面的一個法向量,據(jù)此計算可得二面角余弦值為.

Ⅰ)因為平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以

因為,所以四邊形BCDM為平行四邊形,又,所以MAB的中點.

因為 .

Ⅱ)因為 , ,所以平面,又因為平面

所以平面平面,平面平面,

在平面內(nèi)過點直線于點,則平面,

中,因為,所以

又由題知,所以所以,

以下建系求解.以點E為坐標(biāo)原點,EA方向為X軸,EC方向為Y軸,ES方向為Z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系,

,,,

,,,,

設(shè)平面的法向量,則,所

為平面的一個法向量,

同理得為平面的一個法向量,

,因為二面角為鈍角.

所以二面角余弦值為.

【點睛】

本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴(yán)密推理,明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.

型】解答
結(jié)束】
19

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎勵1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒有獎勵,超過55單的部分每單獎勵12元.

(Ⅰ)請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在(,]n=1,2,3,4,5)時,日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率,回答下列問題:

①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;

②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說明你的理由。

(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax,a>0.
(1)記f(x)的極小值為g(a),求g(a)的最大值;
(2)若對任意實數(shù)x恒有f(x)≥0,求f(a)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某路段最高限速60km/h,電子監(jiān)控測得連續(xù)6輛汽車的速度用莖葉圖表示如下(單位:km/h).若從中任取2輛,則恰好有1輛汽車超速的概率為(

A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下表是某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的過程中記錄的幾組數(shù)據(jù),其中表示產(chǎn)量(單位:噸),表示生產(chǎn)中消耗的煤的數(shù)量(單位:噸).

(1)試在給出的坐標(biāo)系下作出散點圖,根據(jù)散點圖判斷,在中,哪一個方程更適合作為變量關(guān)于的回歸方程模型?(給出判斷即可,不需要說明理由)

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果以及表中數(shù)據(jù),建立變量關(guān)于的回歸方程.并估計生產(chǎn)噸產(chǎn)品需要準(zhǔn)備多少噸煤.參考公式:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+2|.

(1)當(dāng)a=1 時,求不等式f(x)≤5的解集;

(2)x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)p:關(guān)于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函數(shù) 的定義域為R.若p∨q是真命題,p∧q是假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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