Question

【題目】給定正整數.將三種水果分裝在個箱子中.試求最小的正整數，使得無論水果如何分布，總可選出個箱子，它們所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

Answer 1

【答案】

【解析】

記三種水果為、、，表示第個箱子中所裝的水果的量.

考慮這樣的分布：一只箱子裝所有的水果，另一只箱子裝所有的水果，其余只箱子平均裝所有的水果.

顯然，，其中，表示不超過實數的最大整數.

下證：就是所求的最小值

首先證明一個引理.

引理 只箱子中裝有、兩種水果，單箱水果的最大值為，水果的最大值為則可將所有的箱子分為、兩組，每組只箱子，使得

，

.

證明 設

令，.則.

假定已將，，，，等分為，，

滿足.

不妨設，和中水果較少的為，較多的為.

令,

則

.

依此，全部只箱子分為兩組

，，且

不妨設.

注意到，由原來的排序知

則.

回到原題.

當為偶數時，設第1箱中水果最多，余下的箱中第2箱水果最多，另外箱依引理等分為、兩組.

設.由，

知所裝的三種水果都不少于各自總量的一半，且其箱子數為.

當為奇數時，先任取一箱，余下的箱同上處理，共取出箱，所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

因此，所求的在的最小值為