【題目】已知三棱柱中,、分別是與的中點(diǎn),為等邊三角形,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)(i)求證:平面;
(ii)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(i)見解析(ii)
【解析】
(Ⅰ)由推出平面,由推出平面,則平面平面,由平面PMN即可得證;(Ⅱ)(i)勾股定理證明、,即可推出平面;(ii)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AMN,平面BMN的法向量代入即可求得兩向量夾角的余弦值,再求出正弦值即可.
(Ⅰ)取中點(diǎn),連接MP,則,
因?yàn)?/span>平面ABC,平面ABC,所以平面,
因?yàn)?/span>N、P分別的中點(diǎn),所以,又,所以,
因?yàn)?/span>平面ABC,平面ABC,故平面,
因?yàn)?/span>,平面PMN,平面PMN,
于是平面平面,
又平面PMN,所以平面.
(Ⅱ)(i)不妨設(shè),則.
依題意,故為等腰底邊上的中線,則.
于是,
因?yàn)?/span>,所以,同理,則,
又,平面,平面,
所以平面.
(ii)方法一:因?yàn)?/span>平面,平面,所以,
因?yàn)?/span>為等邊三角形且為的中點(diǎn),所以,
又,平面,平面,
所以平面,因?yàn)?/span>平面AMN,故平面平面.
設(shè),則為平面與平面的交線.過作于點(diǎn),則平面.又過作于點(diǎn),則平面,即為二面角的平面角.
在中,,,則;
在中,.
所以,即二面角的正弦值是.
方法二:以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,.
設(shè)平面的法向量,平面的法向量.
由,可取;
由,可取.
于是,
所以二面角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ,求直線l被圓C截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),當(dāng)時,的最小值為,且對任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,ACBC,D,E分別是A1B1,BC的中點(diǎn).求證:
(1)平面ACD⊥平面BCC1B1;
(2)B1E∥平面ACD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】明代商人程大位在公元1592年編撰完成《算法統(tǒng)宗》一書.書中有如下問題:“今有女子善織,初日遲,次日加倍,第三日轉(zhuǎn)速倍增,第四日又倍增,織成絹六丈七尺五寸.問各日織若干?”意思是:“有一位女子善于織布,第一天由于不熟悉有點(diǎn)慢,第二天起每天織的布都是前一天的2倍,已知她前四天共織布6丈7尺5寸,問這位女子每天織布多少?”根據(jù)文中的已知條件,可求得該女了第一天織布________尺,若織布一周(7天),共織________尺.(其中1丈為10尺,1尺為10寸)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)據(jù)的收集和整理在當(dāng)今社會起到了舉足輕重的作用,它用統(tǒng)計的方法來幫助人們分析以往的行為習(xí)慣,進(jìn)而指導(dǎo)人們接下來的行動.
某支足球隊(duì)的主教練打算從預(yù)備球員甲、乙兩人中選一人為正式球員,他收集到了甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù),如下表:
場次 | 第一場 | 第二場 | 第三場 | 第四場 | 第五場 |
甲 | 28 | 33 | 36 | 38 | 45 |
乙 | 39 | 31 | 43 | 39 | 33 |
(1)根據(jù)這兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù),完成莖葉圖(莖表示十位,葉表示個位);分別在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩名球員的傳球成功次數(shù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù)的平均值和方差;
(3)主教練根據(jù)球員每場比賽的傳球成功次數(shù)分析出球員在場上的積極程度和技術(shù)水平,同時根據(jù)多場比賽的數(shù)據(jù)也可以分析出球員的狀態(tài)和潛力.你認(rèn)為主教練應(yīng)選哪位球員?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l過A,B兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.
(I)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(II)若M為曲線C上一動點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<α<π),曲線C2的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為A,B,M(﹣2,0),求|MA|2+|MB|2的最大值及此時直線C1的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,平面,四邊形為平行四邊形,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),且,,.
(1)求證:平面;
(2)若,求該多面體的體積.
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