Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a（1≤a≤3）元的管理費，預計當每件商品的售價為x（7≤x≤9）元時，一年的銷售量為（10-x）²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（Ⅱ）利用導數(shù)求利潤函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題得該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的
函數(shù)關(guān)系式為L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[7，9]．
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)L'（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=10，
∵1≤a≤3，
∴

20

3

≤6+

2

3

a≤8．
①當6+

2

3

a≤7，即1≤a≤

3

2

時，
∴x∈[7，9]時，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上單調(diào)遞減，
故L（x）_max=L（7）=27-9a．
②當6+

2

3

a＞7，即

3

2

＜a≤3時，
∴x∈[7，6+

2

3

a]時，L′（x）＞0；
x∈[6+

2

3

a，9]時，L'（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，6+

2

3

a]上單調(diào)遞增；在x∈[6+

2

3

a，9]上單調(diào)遞減，
故L(x)max=L(6+

2

3

a)=4(2-

a

3

)3．
答：當1≤a≤

3

2

每件商品的售價為7元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為27-9a萬元；
當

3

2

＜a≤3每件商品的售價為6+

2

3

a元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為4(2-

a

3

)3萬元．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查學生應(yīng)用能力．