Question

如圖，已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

36

+

y2

24

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°求：
（1）△PF₁F₂的面積；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進(jìn)而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解；
（2）運(yùn)用橢圓的第二定義，即有焦半徑公式，t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀，t₂=a-ex₀，再由t₁t₂=32，即可解出P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵a²=36，b²=24∴c²=a²-b²=12，
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=12①，t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=48②，
由①²-②得t₁t₂=32，
∴S△PF1F2=

1

2

×32×sin60°=8

3

；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀=6+

3

3

x₀，
則t₂=a-ex₀=6-

3

3

x₀，
由（1）得t₁t₂=32，解得，x₀=±2

3

，y₀=±4．
則有P（2

3

，4）或（2

3

，-4），或（-2

3

，4），或（-2

3

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積的求法，考查橢圓的兩個(gè)定義，關(guān)鍵是應(yīng)用橢圓的定義和余弦定理以及焦半徑公式轉(zhuǎn)化．