Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁：ρ=cosθ-sinθ，曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁化為ρ²=ρcosθ-ρsinθ，由此能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₁，C₂聯(lián)立，得${t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{1}{4}$=0，設(shè)t₁，t₂為方程${t^2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-\frac{1}{4}=0$的兩根，由此能求出|PQ|的值．

解答 解：（1）∵曲線C₁：ρ=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ⇒x²+y²=x-y，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-x+y=0…（5分）
（2）∵曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
∴聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x+{y^2}+y=0}\\{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，得${t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{1}{4}$=0，
設(shè)t₁，t₂為方程${t^2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-\frac{1}{4}=0$的兩根，則$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{{t_1}{t_2}=-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$|PQ|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式的合理運(yùn)用．