Question

已知二次函數(shù)（其中）滿足下列3個(gè)條件：

①的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；

②對(duì)于任意都有成立；

③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，令（其中），

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；

（3）研究函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、.；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)已知給的三個(gè)條件逐一求出的值，對(duì)于①可以求出，對(duì)于②可以得知函數(shù)的對(duì)稱軸為，可以求出，對(duì)于③可以根據(jù)判別式等于，求得的值，則函數(shù)表達(dá)式就得出.（2）由于函數(shù)是帶有參數(shù)和絕對(duì)值的函數(shù)，所以需要討論，首先需要討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，會(huì)得知函數(shù)為分段函數(shù)，而每段區(qū)間又恰好為二次函數(shù)，再討論二次函數(shù)對(duì)稱軸在每段區(qū)間的位置關(guān)系，就可以得到的單調(diào)區(qū)間.（3）由于第（2）問(wèn)得知的單調(diào)區(qū)間，只需要討論，和單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系以及正負(fù)情況，再通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性定理，就可以得出結(jié)論.

試題解析：（1）由題意得，即. 1分

對(duì)于任意都有成立，

函數(shù)的對(duì)稱軸為，即，即.

,

方程僅有一根，即方程僅有一根，

，即，即.

. 4分

.

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述:

當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、 9分

①當(dāng)時(shí)，由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，

故函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn). 12分

②當(dāng)時(shí)，則，而，，，

（�。┤�，由于，

且，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ⅱ）若，由于且，此時(shí)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn). 16分

考點(diǎn)：1、求二次函數(shù)表達(dá)式.2、求解帶有參數(shù)和絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的單調(diào)性.3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.