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【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍,且過點C(2,1),點C關于原點O的對稱點為點D.
(1)求橢圓E的方程;
(2)點P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請說明理由:
(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點,求△CMN面積的最大值,并求此時直線l的方程.

【答案】
(1)解:∵2a=22b,∴a=2b.

設橢圓方程為

橢圓E過點C(2,1),

代入橢圓方程得 ,解得 ,則 ,

所以所求橢圓E的方程為 ;


(2)解:依題意得D(﹣2,﹣1)在橢圓E上.

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在.

設P(x,y),則 ,

又∵點P在橢圓E上,

,∴x2=8﹣4y2,代入①得,

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值


(3)解:CD的斜率為 ,∵CD平行于直線l,∴設直線l的方程為

,

消去y,整理得x2+2tx+(2t2﹣4)=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2).

,得|MN|=

=

所以,

當且僅當t2=4﹣t2時取等號,即t2=2時取等號

所以△MNC面積的最大值為2.

此時直線l的方程


【解析】(1)由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設出橢圓的方程,把點C的坐標代入橢圓方程可求解b,則橢圓的方程可求;(2)設出P點的坐標,寫出直線CP和DP的斜率,由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標的關系式,代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值;(3)由直線l平行于CD,設出直線l的斜截式方程,和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度,由點到直線的距離公式求出C到MN的距離,代入面積公式后利用基本不等式求最大值,并求出使面積最大時的直線l的方程.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習冊系列答案
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