【題目】已知點(diǎn)P(x0,3)與點(diǎn)Q(x0,4)分別在橢圓=1與拋物線y2=2px(p>0)上.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是拋物線上的兩點(diǎn),∠AQB的角平分線與x軸垂直,求直線AB在y軸上的截距的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)將P(x0,3)代入=1,求得x0,將Q(x0,4)代入y2=2px,即可求得P.
(2)根據(jù)條件判定直線QA、QB的斜率關(guān)系,求出直線AB的斜率,再設(shè)出直線AB的方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程,由判別式大于0,且y1y2≥0,求得直線AB在y軸上的截距的取值范圍
由題意可得=1,解得x0=2(-2舍去),
根據(jù)點(diǎn)Q(2,4)在拋物線y2=2px上,即有16=4p,解得p=4,
則有拋物線的方程為y2=8x.
(2)由(1)知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,4),由∠AQB的角平分線與x軸垂直,可得QA,QB的傾斜角互補(bǔ),即QA,QB的斜率互為相反數(shù),
設(shè)QA的斜率為k,則QA:y-4=k(x-2),k≠0,與拋物線方程聯(lián)立,
可得y2-y-16+=0,方程的解為4,y1,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+4=,即y1=-4,
同理y2=--4.
又=8x1,=8x2,∴kAB=-1.
設(shè)AB:y=-x+b,與拋物線方程聯(lián)立可得y2+8y-8b=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=-8,y1y2=-8b,
∵Δ=64+32b>0b>-2,y1·y2=-8b≥0b≤0,
∴-2<b≤0,即直線AB在y軸上的截距的取值范圍是(-2,0].
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【題目】如圖,雙曲線 =1(a,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1 , A2 , 虛軸兩端點(diǎn)為B1 , B2 , 兩焦點(diǎn)為F1 , F2 . 若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2 , 切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則: (Ⅰ)雙曲線的離心率e=;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值 = .
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【題目】如圖,一個(gè)幾何體三視圖的正視圖和側(cè)視圖為邊長(zhǎng)為2銳角60°的菱形,俯視圖為正方形,則此幾何體的內(nèi)切球表面積為( )
A.8π
B.4π
C.3π
D.2π
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若AB邊上的高為 ,且a2+b2=2 ab,則C=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,且過點(diǎn)C(2,1),點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D.
(1)求橢圓E的方程;
(2)點(diǎn)P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請(qǐng)說明理由:
(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點(diǎn),求△CMN面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.
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【題目】如圖,OA是南北方向的一條公路,OB是北偏東45°方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線C.為方便游客光,擬過曲線C上的某點(diǎn)分別修建與公路OA,OB垂直的兩條道路PM,PN,且PM,PN的造價(jià)分別為5萬元/百米,40萬元/百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy,則曲線符合函數(shù)y=x+ (1≤x≤9)模型,設(shè)PM=x,修建兩條道路PM,PN的總造價(jià)為f(x)萬元,題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米.
(1)求f(x)解析式;
(2)當(dāng)x為多少時(shí),總造價(jià)f(x)最低?并求出最低造價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn),滿足 (0≤λ≤1).
(1)若λ= ,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ,求λ的值.
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【題目】已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C1:y2=-16x的焦點(diǎn)重合,且其離心率為2.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求雙曲線C的漸近線與拋物線C1的準(zhǔn)線所圍成三角形的面積.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥P C
D.AP⊥平面PBC
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