【題目】已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn.
【答案】(1)an=2n-1.(2)
【解析】
(1)4Sn=(an+1)2,兩式做差得到2(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an),因為an+1+an≠0,所以an+1-an=2,{an}為公差等于2的等差數(shù)列,由公式得到通項;(2)錯位相減求和即可.
(1)因為4Sn=(an+1)2,所以Sn=,Sn+1=.,
所以Sn+1-Sn=an+1=,即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,
所以2(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an).
因為an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}為公差等于2的等差數(shù)列.
由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1.
(2),…………①
,………②
得:
.
所以
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【題目】已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;
(2)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍,且過點C(2,1),點C關(guān)于原點O的對稱點為點D.
(1)求橢圓E的方程;
(2)點P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請說明理由:
(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點,求△CMN面積的最大值,并求此時直線l的方程.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,點P是棱BB1上一點,滿足 (0≤λ≤1).
(1)若λ= ,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ,求λ的值.
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【題目】已知橢圓以,為焦點,且離心率
(1)求橢圓的方程;
(2)過點斜率為的直線與橢圓有兩個不同交點、,求的范圍;
(3)設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為、,是否存在直線,滿足(2)中的條件且使得向量與垂直?如果存在,寫出的方程;如果不存在,請說明理由。
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【題目】已知雙曲線C的一個焦點與拋物線C1:y2=-16x的焦點重合,且其離心率為2.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求雙曲線C的漸近線與拋物線C1的準(zhǔn)線所圍成三角形的面積.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線x2=8y的焦點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線x=﹣2與橢圓交于P,Q兩點,A,B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側(cè)的動點,若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值.
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【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0; q:實數(shù)x滿足<0.
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=,E是PC的中點.
(1)證明:BE∥平面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.
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