Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R），函數(shù)g（x）=ln（e^x-1）-lnx．
（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=e^x-a；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導(dǎo)數(shù)確定恒成立問題．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
（2）令u（x）=e^x-x-1，則u′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）恒成立，
∴u（x）在（0，+∞）遞增，u（x）＞u（0）=0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則H（x）＞H（0），
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
當(dāng)a≤1時(shí)，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，lna）上單調(diào)遞減，
幫當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），則不滿足題意，
所以滿足題意的a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．