Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線過（0，-1），求a的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)a≤-1時，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=2代入原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，得到切線的點(diǎn)斜式方程，將（0，-1）代入，可求a的值；
（Ⅱ）若證：當(dāng)a≤-1時，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需證：（x-1）（e^x-1）-ax≥0在（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)法求其最值后，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）解由x-1≠0得：函數(shù)f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$的定義域?yàn)閤∈（-∞，1）∪（1，+∞），
f（2）=e²-1-2a，$f'（x）={e^x}-\frac{{a（{x-1}）-ax}}{{{{（{x-1}）}^2}}}={e^x}+\frac{a}{{{{（{x-1}）}^2}}}$，
∴f'（2）=e²+a，
∴曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線y-（e²-1-2a）=（e²+a）（x-2）
將（0，-1）代入，得-1-（e²-1-2a）=-2e²-2a，
解得：$a=-\frac{{e}^{2}}{4}$
證明：（Ⅱ）$f（x）•lnx=（{{e^x}-1-\frac{ax}{x-1}}）•lnx$
若證：當(dāng)a≤-1時，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
只需證：$\frac{1}{x-1}•lnx•[{（{x-1}）（{{e^x}-1}）-ax}]≥0$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
∵x∈（0，1）∪（1，+∞）時，$\frac{1}{x-1}•lnx＞0$恒成立，
∴只需證：（x-1）（e^x-1）-ax≥0在（0，+∞）恒成立
設(shè)g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞）
∵g（0）=0恒成立
∴只需證：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立
∵g'（x）=x•e^x-1-a，
g''（x）=（x+1）•e^x＞0恒成立，
∴g'（x）單調(diào)遞增，
∴g'（x）≥g'（0）=-1-a≥0
∴g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0
∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立
即$f（x）•lnx=\frac{1}{x-1}•lnx•g（x）≥0$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)的切線方程，難度中檔．