Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（I）若為上的一點(diǎn)，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn),連接，證明 ，即可說明，由底面為正方形，可求得;

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及平面的法向量為，根據(jù)線面所成角的正弦值的公式即可求解。

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn),連接,有,

因?yàn)?/span>，所以,

又因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以，

又因?yàn)?/span>

所以

又因?yàn)?/span>,平面,平面,

所以，又因?yàn)?/span>平面,

所以,

因?yàn)?/span>，

所以,

連接,設(shè)，因?yàn)?/span>為正方形，

所以,又因?yàn)?/span>

所以,

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以為的中點(diǎn),

所以.

（Ⅱ）

如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè),由（Ⅰ）可知，

所以，

所以,

所以,

所以，

設(shè)平面的法向量為，

則即

則的一組解為．

所以

所以直線與平面成角的正弦值為.