Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足．

（1）求；

（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；

（3）設(shè)，若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1），        

，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則．

         直線與軸的交點為，，且，

即，且，

解得，．                     

則．                

（2），

    

其圖像如圖所示．

當時，，根據(jù)圖像得：

（�。┊�時，最大值為；

（ⅱ）當時，最大值為；

（ⅲ）當時，最大值為．  

（3）方法一：，

，，

當時，，

不等式恒成立等價于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

當時，，，

        ，                           

        又當時，由恒成立，得，

因此，實數(shù)的取值范圍是．            

方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù)的圖像，其圖像為線段（如圖），

的圖像過點時，或，

要使不等式對恒成立，

必須，   

又當函數(shù)有意義時，，

當時，由恒成立，得，

因此，實數(shù)的取值范圍是．             

方法三：， 的定義域是，

要使恒有意義，必須恒成立，

        ，，即或． ………………①    

        由得，

即對恒成立，

令，的對稱軸為，

則有或或

解得．  ………………②

綜合①、②，實數(shù)的取值范圍是．