Question

7．已知圓C與y軸相切，圓心在直線x-2y=0上，且被x軸的正半軸截得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點（x，y）在圓C上，求x+2y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓心（2m，m），半徑為r（m＞0，r＞0），由已知條件列出方程組，求出m=1，r=2，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）設x+2y=t，由題意得直線x+2y=t與圓C相交或相切，當t=x+2y取最大值時，直線x+2y-t=0與圓相切，由此能求出x+2y的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設圓心（2m，m），半徑為r（m＞0，r＞0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{r=2m}\\{（\sqrt{3}）^{2}+{m}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，解得m=1，r=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）設x+2y=t，
由題意得直線x+2y=t與圓C相交或相切，
當t=x+2y取最大值時，直線x+2y-t=0與圓相切，
∴圓心（2，1）到直線x+2y=t的距離d滿足：
d=$\frac{|2+2-t|}{\sqrt{5}}$=2，
解得t=4-2$\sqrt{5}$或t=4+2$\sqrt{5}$．
∴x+2y的最大值為4+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查代數(shù)式的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．