Question

16．若點A、B為圓（x-2）²+y²=25上的兩點，點P（3，-1）為弦AB的中點，則弦AB所在的直線方程為x-y-4=0．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=-2，利用點差法能求出弦AB所在的直線方程．

解答 解：∵點A、B為圓上的兩點，點P（3，-1）為弦AB的中點，
∴設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=6，y₁+y₂=-2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入圓的方程，得：
$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-2）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=25}\\{（{x}_{2}-2）^{2}+{{y}_{2}}^{2}=25}\end{array}\right.$，
兩式相減，得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴弦AB所在的直線方程為y+1=x-3，即x-y-4=0．
故答案為：x-y-4=0．

點評 本題考查弦所在直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．