Question

17．若數(shù)列{a_n}滿足：對(duì)任意的n∈N^*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得a_m＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為Y（a_n），得到數(shù)列{Y（a_n）}．例如，若數(shù)列{a_n}是1，2，3…，n，…時(shí)，{Y（a_n）}是0，1，2，…n-1，…現(xiàn)對(duì)任意的n∈N^*，a_n=n²，則Y（a₂）=1，因?yàn)闈M足m²＜2成立，只有m=1，故Y（a₂）=1．
（1）求Y（a₆），Y（Y（a_n））（不用證明）
（2）若f（n）=$\frac{2n}{Y（Y（{a}_{n}））+10}$，求f（n）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，若a_m＜6，而a_n=n²，知m=1，2，Y（a₆）=2，由題設(shè)條件可知Y（（a₁））=1，Y（（a₂））=4，Y（（a₃））=9，Y（（a₄））=16，于是猜想：Y（（a_n））=n²；
（2）由（1）可知求得f（n）=$\frac{2n}{{n}^{2}+10}$=$\frac{2}{n+\frac{10}{n}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n×\frac{10}{n}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，n為正整數(shù)，分別求得f（3）及f（4）比較，即可求得f（n）的最大值．

解答 解：（1）∵a_m＜6，而a_n=n²，
∴m=1，2，
∴Y（a₆）=2．
∵Y（a₁）=0，Y（a₂）=1，Y（a₃）=1，Y（a₄）=1，
Y（a₅）=2，Y（a₆）=2，Y（a₇）=2，Y（a₈）=2，Y（a₉）=2，
Y（a₁₀）=3，Y（a₁₁）=3，Y（a₁₂）=3，Y（a₁₃）=3，Y（a₁₄）=3，Y（a₁₅）=3，Y（a₁₆）=3，
∴Y（Y（a₁））=1，Y（（a₂））=4，Y（（a₃））=9，Y（（a₄））=16，
猜想：Y（Y（a_n））=n²．
（2）f（n）=$\frac{2n}{Y（Y（{a}_{n}））+10}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+10}$=，n為正整數(shù)，
∴f（n）=$\frac{2}{n+\frac{10}{n}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n×\frac{10}{n}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{10}{n}$，即n=$\sqrt{10}$時(shí)取最大值，
∵n為正整數(shù)，
∴當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=$\frac{6}{19}$，當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=$\frac{4}{13}$，
f（3）＞f（4），
故n=3時(shí)，取最大值，最大值為=$\frac{6}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)，考查歸納推理能力，屬于中檔題．