Question

15．下列敘述中正確命題的個數有（　�。�
（1）若a，b，c∈R，則“ax²+bx+c≥0”的充分條件是“b²-4ac≤0”
（2）若a，b，c∈R，則“ab²＞cb²”的充要條件是“a＞c”
（3）若x，y∈R，滿足a^x＜a^y（0＜a＜1），則$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{y}^{2}+1}$
（4）若m＞1，則mx²-2（m+1）x+m+3＞0的解集為R．

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 （1）當a=0，b=0，c＜0時，不成立，
（2）當a=0時，充分性不成立，
（3）根據不等式的性質，結合分式不等式的性質進行判斷
（4）求出判別式△＜0，結合不等式的性質進行判斷．

解答 解：（1）當a=0，b=0，c＜0時，滿足b²-4ac≤0，但此時ax²+bx+c≥0不成立，
故a，b，c∈R，則“ax²+bx+c≥0”的充分條件是“b²-4ac≤0”錯誤；
（2）若ab²＞cb²，則b≠0，此時a＞c，即必要性成立，
若a＞c，則當b=0時，不等式ab²＞cb²不成立，則充分性不成立，故即“ab²＞cb²”的充要條件是“a＞c”錯誤，
（3）若x，y∈R，滿足a^x＜a^y（0＜a＜1），則x＞y，則當x=1，y=-1時，滿足條件x＞y，但$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{y}^{2}+1}$不成立，
（4）若m＞1，則判別式△=4（m+1）²-4m（m+3）=4-4m＜0，
則mx²-2（m+1）x+m+3＞0恒成立，即不等式的解集為R．故（4）正確，
故正確的是（4），
故選：B．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及不等式的性質，難度不大．