【題目】在三棱錐中, , 為的中點, 平面,垂足落在線段上,已知.
(1)證明: ;
(2)在線段上是否存在一點,使得二面角為直二面角?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:⑴對于法一,易得因為平面,推導出,再推導出平面,即可得到答案;對于法二,以為原點,分別以過點與共線同向的向量, , 方向上的單位向量為單位正交基建立空間直角坐標系,易求得幾何體中各個頂點的坐標,求出, 的坐標,要證明,即證明
⑵要求滿足條件使得二面角為直二面角的點,即求平面的法向量和平面的法向量互相垂直,由此求出點的坐標,然后根據(jù)空間兩點之間的距離公式即可求出的長;
解析:(1)法一:∵, 為的中點,
∴,
∵平面,
∴,
∵垂足落在線段上,
∴平面,
∴.
法二:如圖,以為原點,分別以過點與共線同向的向量, , 方向上的單位向量為單位正交基建立空間直角坐標系,則
∴
∴
∴
(2)假設點存在,設, ,則,
∴,
∴,
∴,
∴
設平面的法向量為,平面的法向量為
由得,
令,可得,
由得,
令,可得,
若二面角為直二面角,則,得,
解得,∴
故線段上是否存在一點,滿足題意, 的長為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|.
(1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;
(2)已知a>2,求證:x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立.
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【題目】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的圖像與x軸相切于M(3,0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在兩個不等正數(shù)s,t(s<t),當x∈[s,t]時,函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s,t],若存在,求出所有這樣的正數(shù)s,t,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,有一塊矩形空地,要在這塊空地上開辟一個內接四邊形為綠地,使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上,已知且設,綠地面積為.
(1)寫出關于的函數(shù)關系式,并指出這個函數(shù)的定義域.
(2)當為何值時,綠地面積最大?
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C所對邊,a+b=4,(2﹣cosA)tan =sinA.
(1)求邊長c的值;
(2)若E為AB的中點,求線段EC的范圍.
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【題目】聯(lián)合國教科文組織規(guī)定,每年的4月23日是“世界讀書日”.某校研究生學習小組為了解本校學生的閱讀情況,隨機調查了本校400名學生在這一天的閱讀時間(單位:分鐘),將時間數(shù)據(jù)分成5組:,并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)求的值;
(2)試估計該學校所有學生在這一天的平均閱讀時間;
(3)若用分層抽樣的方法從這400名學生中抽取50人參加交流會,則在閱讀時間為的兩組中分別抽取多少人?
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【題目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=2AD,若將△ABD沿直線BD折成△A′BD,使得A′D⊥BC,則直線A′B與平面BCD所成角的正弦值是 .
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【題目】已知點R(x0 , y0)在D:y2=2px上,以R為切點的D的切線的斜率為 ,過Γ外一點A(不在x軸上)作Γ的切線AB、AC,點B、C為切點,作平行于BC的切線MN(切點為D),點M、N分別是與AB、AC的交點(如圖).
(1)用B、C的縱坐標s、t表示直線BC的斜率;
(2)設三角形△ABC面積為S,若將由過Γ外一點的兩條切線及第三條切線(平行于兩切線切點的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”,如△AMN,再由M、N作“切線三角形”,并依這樣的方法不斷作切線三角形…,試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T.
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