Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1和函數(shù)g（x）=$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，且a＞0．
（1）若g（x）是奇函數(shù)，試求f（x）在R上的值域；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)b＞0時(shí)，判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x₁，x₂，f（x）=0的兩根為x₃，x₄，求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)g（x）為奇函數(shù)可得b=0，得到f（x）=ax²+1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）由方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可得△=b²-4a²＞0，即$\frac{2a}$＞1或$\frac{2a}$＜-1，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，設(shè)α為x₁與x₂中的一個(gè)數(shù)，則有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{a}α+\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$．再分a＞0與a＜0兩種情況討論，進(jìn)而結(jié)合等式與不等式得到關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求出a的范圍得到答案．

解答 解：（1）因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，
所以g（-x）=-g（x），
又函數(shù)g（x）=$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，
則$\frac{-bx-1}{-{a}^{2}x+2b}$=-$\frac{bx-1}{{{a^2}x+2b}}$，
化簡(jiǎn)可得b=0，
所以f（x）=ax²+1，定義域?yàn)镽，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）；
（2）由方程g（x）=x整理可得a²x²+bx+1=0，
因?yàn)榉匠蘥（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
所以△=b²-4a²＞0，即|$\frac{2a}$|＞1，即$\frac{2a}$＞1或$\frac{2a}$＜-1，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax²+bx+1的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$，并且a＞0，
所以當(dāng)-$\frac{2a}$＜-1時(shí)，f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)-$\frac{2a}$＞1時(shí)，f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{g（x）=x}\\{f（x）=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，
設(shè)α為x₁與x₂中的一個(gè)數(shù)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，
因?yàn)閤₃+x₄=-$\frac{a}$，x₃x₄=$\frac{1}{a}$，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{a}α+\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$．
當(dāng)a＞0時(shí)有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＜0}\end{array}\right.$，
所以結(jié)合兩式可得（a-a²）α²＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
當(dāng)a＜0時(shí)有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＞0}\end{array}\right.$，
所以所以結(jié)合兩式可得（a-a²）α²＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
綜上可得a的取值范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，以及一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，此題綜合性比較強(qiáng)，考查了數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的思想方法即分類討論的思想方法，此題屬于難題．