Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），令fˊ（x）=0，求出方程的根，將定義域分成幾個(gè)區(qū)間，然后判定導(dǎo)數(shù)符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值．

解答：解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為（-2，0）和（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，1）
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（-1）=

1

e2

-

2

3

＜0，f(2)=4(e-

5

3

)＞0
f（x）_極小=f（1）=-

1

3

＞f(-1)，
所以f（x）在[-1，2]上的最小值為

1

e2

-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．